7.Sınıf Matematik Dersi (5. ÜNİTE) Özeti

1. Açıortay

1.1. Tanımı

Bir açıyı iki eş parçaya bölen ışına açıortay denir.

1.2. Özellikleri

• Açıortay, açının iki kolunu keser.
• Açıortayı oluşturan ışın, açının tepe noktasından geçer.
• Bir açının birden fazla açıortayı olamaz.

1.3. Açıortay Oluşturma

Dinamik geometri programları kullanarak açıortay oluşturabilirsiniz.

2. Paralel Doğrular ve Keseni

2.1. Tanımları

• Birbirine asla kesişmeyen ve her yerde eşit uzaklıkta olan doğrulara paralel doğrular denir.
• Paralel doğruları kesen üçüncü bir doğruya kesen denir.

2.2. Yöndeş, Ters, İç Ters ve Dış Ters Açılar

• Keseni, paralel doğrulara eşit açılar oluşturur.
• Bu açılara yöndeş açılar denir.
• Keseni, paralel doğrularla birer iç açı ve birer dış açı oluşturur.
• Aynı tarafta kalan iç açılara iç ters açılar,
• Farklı tarafta kalan dış açılara dış ters açılar denir.

2.3. Özellikleri

• Yöndeş açılar eşittir.
• İç ters açılar toplamı 180°'dir.
• Dış ters açılar toplamı 180°'dir.

3. Düzgün Çokgenler

6. İki Paralel Doğru ve Bir Kesenin Oluşturduğu Açılar

Bu konu, iki paralel doğrunun bir kesen tarafından oluşturulan açıları ve bu açılar arasındaki ilişkileri incelemektedir.

Paralel Doğrular:

Paralel doğrular, sonsuza kadar uzatıldıklarında asla kesişmeyen doğrardır.

Kesen:

Paralel doğruları kesen doğrudur.

Oluşan Açılar:

Kesen ve paralel doğrular, birbirleriyle sekiz açı oluşturur.

Açı Türleri:

• Yöndeş Açılar: Aynı yöne bakan ve birbirine eşit açılardır.
• Ters Açılar: Birbirine zıt yönde bakan ve birbirine eşit açılardır.
• İç Açılar: Kesenin paralel doğrular arasında kalan açılardır.
• Dış Açılar: Kesenin paralel doğrular dışında kalan açılardır.

Açı İlişkileri:

• Yöndeş Açılar: Yöndeş açılar birbirine eşittir.
• Ters Açılar: Ters açılar birbirine eşittir.
• İç Ters Açılar: İç ters açılar birbirine eşittir.
• Dış Ters Açılar: Dış ters açılar birbirine eşittir.
• Bütünler Açılar: İki açının toplamı 180° ise bu açılar bütünler açıdır.

Tablo:

Sonuç:

İki paralel doğrunun bir kesen tarafından oluşturulan açıları, yöndeş, ters, iç ters ve dış ters açılar olmak üzere dört kategoriye ayrılabilir. Bu kategorilerdeki açılar arasındaki eşitlik ilişkilerini bilmek, geometri problemlerini çözmede yardımcı olur.

Çokgenler

Çokgen Nedir?

Çokgen, en az üç kenarı ve üç köşesi olan kapalı bir geometrik şekildir. Kenarları birbirleriyle kesişmeyen çokgenlere düzgün çokgen, kenarları birbirleriyle kesişen çokgenlere ise düzensiz çokgen denir.

Çokgenlerin Özellikleri

• Bir çokgendeki kenar sayısı, köşe sayısına eşittir.
• Bir çokgendeki komşu iki iç açının toplamı 180°dir.
• Bir çokgendeki dış açılarının toplamı 360°dir.
• Bir çokgendeki iç açılarının ölçüleri toplamını bulmak için (n-2) x 180° formülü kullanılır. Burada n, çokgenin kenar sayısını temsil eder.

Çokgen Türleri

Kenar sayısına göre:

• Üçgen (3 kenar)
• Dörtgen (4 kenar)
• Beşgen (5 kenar)
• Altıgen (6 kenar)
• Yedigen (7 kenar)
• Sekizgen (8 kenar)

Düzenliliğe göre:

• Düzgün çokgen
• Düzensiz çokgen

Bazı Özel Çokgenler:

• Kare: Dört kenarı ve dört iç açısı eşit olan düzgün çokgendir.
• Dikdörtgen: Dört kenarı ve dört iç açısı dik olan düzgün çokgendir.
• Eşkenar Üçgen: Üç kenarı ve üç iç açısı eşit olan düzgün çokgendir.

Örnekler

• Bir altıgenin iç açılarının ölçüleri toplamını bulmak için:
  (6 - 2) x 180° = 4 x 180° = 720°
• Bir düzgün yedigenin bir köşesinden çizilebilecek köşegen sayısı:
  7 - 3 = 4
• Bir dikdörtgenin iç açılarının ölçüleri:
  90°, 90°, 90°, 90°

Özet

Çokgenler, geometrik şekillerin önemli bir sınıfıdır. Farklı kenar sayılarına ve özelliklerine göre sınıflandırılabilirler. Çokgenlerin iç açılarının ölçüleri toplamını bulmak için formüller kullanılabilir.

Arıların Matematiği

Arılar ve Petek

Arılar, bal peteğini düzgün altıgen şeklinde yapmaktadır. Bu sayede zamandan, enerjiden ve bal mumundan tasarruf etmektedirler. Altıgen, aynı alana en fazla sayıda daire sığdırılabilecek geometrik şekildir.

Altıgenin Özellikleri

• Altı kenarı ve altı köşesi vardır.
• Karşılaşan iki kenarı eşit ve paraleldir.
• Karşılaşan iki açısı eşittir ve toplamı 120°dir.
• İç açılarının ölçüleri toplamı 720°dir.

Arılar, doğanın mükemmel mimarlarıdır. Bal peteğini altıgen şeklinde yaparak matematiksel bir mucizeyi gerçekleştirirler.

Düzgün Çokgenler ve Dörtgenler Özeti

Bu özet, 7. sınıf Matematik dersi için Düzgün Çokgenler ve Dörtgenler konusunu kapsamaktadır.

Düzgün Çokgenler

Tanım: Kenar uzunlukları ve bütün açıları eşit olan çokgenlere düzenli çokgen denir.

Özellikleri:

• İç açılarının ölçüleri toplamı: (n - 2) * 180°
• Bir dış açısının ölçüsü: 360° / n
• Kenar uzunluğu bulma formülü: Çevre / Kenar sayısı

Örnek:

• Kare: 4 kenarlı ve 4 dik açılı düzgün çokgendir.
• Beşgen: 5 kenarlı düzgün çokgendir.
• Altıgen: 6 kenarlı düzgün çokgendir.

Paralelkenar:

• Karşılıklı kenarları birbirine paralel ve eşit uzunluktadır.
• Karşılıklı açılarının ölçüleri eşittir.
• Ardışık iki açının ölçüleri toplamı 180°dir.
• Köşegenleri birbirini ortalar.

Yamuk:

• Bir kenar çifti paraleldir.
• Karşılıklı açılarının ölçüleri toplamı 180°dir.
• İkizkenar yamuk: Bir kenar çifti eşit uzunluktadır.
• Dik yamuk: Bir kenar çifti dik açı oluşturur.

Dikdörtgen:

• Karşılıklı kenarları birbirine paralel ve eşit uzunluktadır.
• Tüm açılarının ölçüleri 90°dir.
• Köşegenleri birbirini ortalar ve birbirine dik açıyla kesişir.

Kare:

• Tüm kenarları eşit uzunluktadır.
• Tüm açılarının ölçüleri 90°dir.
• Köşegenleri birbirini ortalar ve birbirine dik açıyla kesişir.

Örnekler:

• Bir paralelkenarda bir açının ölçüsü 70° ise, diğer açıların ölçüleri 110°'dir.
• Bir yamuğun tabanlarının uzunlukları 5 cm ve 8 cm, yüksekliği ise 6 cm ise, yamuğun alanını bulmak için (5 + 8) * 6 / 2 = 48 cm² formülü kullanılır.
• Bir dikdörtgenin bir kenarının uzunluğu 10 cm, diğer kenarının uzunluğu ise 8 cm ise, dikdörtgenin çevresini bulmak için 2 * (10 + 8) = 36 cm formülü kullanılır.
• Bir karenin kenar uzunluğu 5 cm ise, karenin çevresini bulmak için 4 * 5 = 20 cm formülü kullanılır.

Tangram:

• 7 geometrik parçadan oluşan bir zeka oyunudur.
• Farklı şekiller oluşturmak için kullanılır.
• Yaratıcılığı ve problem çözme becerilerini geliştirir.

Üçgen Alanı:

A = (taban x yükseklik) / 2

Dörtgen Alanı:

A = uzunluk x genişlik

Dikdörtgen Alanı:

A = uzunluk x genişlik

Paralelkenar Alanı:

A = taban x yükseklik

Yamuk Alanı:

A = ((üst taban + alt taban) x yükseklik) / 2

Eşkenar Dörtgen Alanı:

A = (köşegen 1 x köşegen 2) / 2

Kare Alanı:

A = kenar uzunluğu x kenar uzunluğu

Örnek:

Bir dikdörtgenin uzunluğu 10 cm, genişliği 6 cm ise alanı kaç cm²'dir?

Çözüm: A = uzunluk x genişlik = 10 cm x 6 cm = 60 cm²

Üçgen Çevresi:

Ç = kenar 1 + kenar 2 + kenar 3

Dörtgen Çevresi:

Ç = kenar 1 + kenar 2 + kenar 3 + kenar 4

Dikdörtgen Çevresi:

Ç = 2 x (uzunluk + genişlik)

Paralelkenar Çevresi:

Ç = kenar 1 + kenar 2 + kenar 3 + kenar 4

Yamuk Çevresi:

Ç = üst taban + alt taban + yan kenar 1 + yan kenar 2

Eşkenar Dörtgen Çevresi:

Ç = 4 x kenar uzunluğu

Kare Çevresi:

Ç = 4 x kenar uzunluğu

Örnek:

Bir karenin kenar uzunluğu 5 cm ise çevresi kaç cm'dir?

Çözüm: Ç = 4 x kenar uzunluğu = 4 x 5 cm = 20 cm

Birleştirme Problemleri:

İki şeklin alanlarını bulmak için:

• Her şeklin alanını ayrı ayrı hesaplayın.
• İki alanın toplamını alın.

Örnek:

Bir karenin kenar uzunluğu 5 cm, bir dikdörtgenin uzunluğu 10 cm ve genişliği 6 cm ise iki şeklin toplam alanı kaç cm²'dir?

Çözüm: Kare alanı = 25 cm², Dikdörtgen alanı = 60 cm², Toplam alan = 85 cm²

Karşılaştırma Problemleri:

İki şeklin alanlarını karşılaştırmak için:

• Her şeklin alanını ayrı ayrı hesaplayın.
• Alanları karşılaştırın.

Örnek:

Bir karenin kenar uzunluğu 5 cm, bir dikdörtgenin uzunluğu 10 cm ve genişliği 6 cm ise hangisinin alanı daha büyüktür?

Çözüm: Kare alanı = 25 cm², Dikdörtgen alanı = 60 cm². Dikdörtgenin alanı daha büyüktür.

Çember ve Daire Kavramları:

• Çember: Bir noktadan (merkez) eşit uzaklıkta bulunan noktaların oluşturduğu kapalı eğridir.
• Daire: Bir çemberin iç kısmını da kapsayan bölgedir.
• Yarıçap: Merkezden çemberin herhangi bir noktasına olan uzaklıktır.
• Çap: Bir çemberin içinden geçen ve iki uç noktası çember üzerinde olan en uzun doğru parçasıdır.
• Merkez açı: Çemberin merkezinden geçen ve iki yayı sınırlayan açıdır.
• Yay: Çemberin bir kısmını sınırlayan eğridir.

Çember ve Daire Özellikleri:

• Çemberin tüm simetri eksenleri merkezinden geçer.
• Bir çemberin tüm yarıçapları eşit uzunluktadır.
• Bir çemberin tüm çapları eşit uzunluktadır.
• Aynı çember üzerinde bulunan merkez açıları, gördükleri yayların uzunluklarıyla orantılıdır.
• Bir çemberin çevresi, 2πr formülüyle hesaplanır. (π ≈ 3,14)
• Bir dairenin alanı, πr² formülüyle hesaplanır.

Örnek Problemler:

Problem 1:

Yarıçapı 5 cm olan bir çemberin çevresi kaç cm'dir?

Çözüm: Çemberin çevresi = 2πr = 2π * 5 = 10π ≈ 31,4 cm

Problem 2:

Çapı 12 cm olan bir dairenin alanı kaç cm²'dir?

Çözüm: Dairenin alanı = πr² = π * (12/2)² = π * 6² = 36π ≈ 113 cm²

Problem 3:

120°lik merkez açıyla oluşan bir yay uzunluğu 18 cm ise, çemberin çevresi kaç cm'dir?

Çözüm:

• 360°lik merkez açıya karşılık gelen yay uzunluğu = 2πr
• 120°lik merkez açıya karşılık gelen yay uzunluğu = 18 cm
• 1°lik merkez açıya karşılık gelen yay uzunluğu = 18/120 = 0,15 cm
• 360°lik merkez açıya karşılık gelen yay uzunluğu = 0,15 * 360 = 54 cm
• Çemberin çevresi = 54 cm

Dairenin Alanı:

• Yarıçapı r olan dairenin alanı πr² ile bulunur.
• Örnekler ve çözümler ile dairenin alanının nasıl hesaplanacağı gösterilmiştir.

Daire Diliminin Alanı:

• Daire diliminin alanı, dairenin alanının merkez açısının 360°'ye oranıyla bulunur.
• Örnekler ve çözümler ile daire diliminin alanının nasıl hesaplanacağı gösterilmiştir.

Çemberin Çevresi:

• Çemberin çevresi 2πr ile bulunur.
• Bir sorunun çözümü ile çemberin çevresinin nasıl hesaplanacağı gösterilmiştir.

Dairenin Alanında Değişim:

• Dairenin yarıçapı 3 katına çıkarılırsa alanı 9 katına çıkar.
• Bir sorunun çözümü ile dairenin alanında yarıçap değişiminin nasıl bir etkiye sahip olduğu gösterilmiştir.

Radar Tarafından Taradılan Alan:

• Radarın taradığı alan πr² ile bulunur.
• Bir sorunun çözümü ile radar tarafından taranan alanın nasıl hesaplanacağı gösterilmiştir.

Boyalı Dairelerin Dışındaki Alan:

• Dairenin alanından boyalı dairelerin alanları çıkarılır.
• Bir sorunun çözümü ile boyalı dairelerin dışındaki alanın nasıl hesaplanacağı gösterilmiştir.

Dikdörtgen İçine Çizilebilecek En Büyük Daire:

• Dikdörtgenin köşegenlerinin kesişim noktası merkezli daire çizilir.
• Bir sorunun çözümü ile dikdörtgen içine çizilebilecek en büyük dairenin alanının nasıl hesaplanacağı gösterilmiştir.

Daire Diliminin Alanı:

• Daire diliminin alanı, dairenin alanının merkez açısının 360°'ye oranıyla bulunur.
• Bir sorunun çözümü ile daire diliminin alanının nasıl hesaplanacağı gösterilmiştir.

Açıortay:

• Bir açıyı iki eşit parçaya bölen doğru parçasıdır.
• Bir üçgende açıortayın nasıl bulunacağı gösterilmiştir.

Dik Üçgende Eşlik:

• Karşılıklı iki kenarın uzunluklarının oranları eşit olan dik üçgenler eşliktir.
• Bir sorunun çözümü ile dik üçgenlerde eşlik kavramının nasıl kullanılacağı gösterilmiştir.

Beşgenin İç Açıları:

• Bir beşgenin iç açılarının toplamı (n-2)x180° ile bulunur.
• Bir sorunun çözümü ile beşgenin iç açılarının toplamının nasıl hesaplanacağı gösterilmiştir.

Dış Açılar:

• Bir dış açı, bir köşeden çıkan ve komşu iki kenarın uzantılarının oluşturduğu açıdır.
• Bir sorunun çözümü ile dış açının nasıl bulunacağı gösterilmiştir.

Paralel Doğrular:

• Birbirine asla kesişmeyen ve her yerde eşit uzaklıkta olan doğrular paraleldir.
• Bir sorunun çözümü ile paralel doğrularla ilgili problemlerin nasıl çözüleceği gösterilmiştir.

Çemberden Kesilen Parçalar:

• Bir ip, çemberi iki noktadan keserse bu iki nokta arasında kalan yay, ip tarafından kesilen yaydır.
• Bir sorunun çözümü ile çemberden kesilen parçalarla ilgili problemlerin nasıl çözüleceği gösterilmiştir.

Katlama Problemleri:

• Katlama sonucunda oluşan şekillerin alanları ve çevreleri hesaplanır.
• Bir sorunun çözümü ile katlama problemlerinin nasıl çözüleceği gösterilmiştir.

Fıskiyenin Sulayamadığı Alan:

• Fıskiyenin sulayamadığı alan, karenin alanından fıskiyenin sulayabildiği alanın çıkarılmasıyla bulunur.
• Bir sorunun çözümü ile fıskiyenin sulayamadığı alanın nasıl hesaplanacağı gösterilmiştir.