8.Sınıf Matematik Dersi (1. ÜNİTE ÇARPANLAR VE KATLAR ÜSLÜ İFADELER) Özeti

Çarpanlar ve Katlar

Çarpanlar ve katlar, pozitif tam sayıların matematiksel kavramlarıdır. Bir sayının çarpanları, o sayıyı bölen pozitif tam sayılardır. Bir sayının katları ise, o sayının tam sayı katlarıdır.

Asal Çarpanlar

Bir sayının asal çarpanları, o sayıyı bölen asal sayılardır. Örneğin, 12 sayısının asal çarpanları 2 ve 3'tür. Çünkü 12 sayısı hem 2'ye hem de 3'e tam olarak bölünebilir.

En Küçük Ortak Kat (EKOK)

İki veya daha fazla doğal sayının en küçük ortak katı (EKOK), bu sayıların ortak katlarından en küçüğüdür. Örneğin, 4 ve 6 sayılarının EKOK'u 12'dir. Çünkü 12, hem 4'ün hem de 6'nın katıdır ve bu sayıların ortak katları arasında en küçüktür.

En Büyük Ortak Bölen (EBOB)

İki veya daha fazla doğal sayının en büyük ortak böleni (EBOB), bu sayıların ortak bölenlerinden en büyüğüdür. Örneğin, 12 ve 18 sayılarının EBOB'u 6'dır. Çünkü 6, hem 12'nin hem de 18'in ortak bölenidir ve bu sayıların ortak bölenleri arasında en büyüğüdür.

Sonuç

Çarpanlar, katlar, asal çarpanlar, EKOK ve EBOB, pozitif tam sayıların önemli matematiksel kavramlarıdır. Bu kavramlar, sayıların özelliklerini anlamak ve çeşitli matematiksel işlemleri çözmek için kullanılır.

Faydalı Kaynaklar

• Çarpanlar ve Katlar
• Asal Çarpanlar
• EKOK ve EBOB

Bölen ve Katlar

Bölen ve katlar, bir sayıyı tam bölen veya tam bölünen sayılardır.

Bölen

Bir sayıyı tam bölen sayılara o sayının böleni denir. Örneğin, 12 sayısının bölenleri 1, 2, 3, 4, 6 ve 12'dir.

Kat

Bir sayıyı tam bölen bir sayı ile çarpılarak elde edilen sayıya o sayının katı denir. Örneğin, 5 sayısının katları 5, 10, 15, 20, 25, ... gibi sonsuza kadar devam eder.

En Büyük Ortak Bölen (EBOB)

İki veya daha fazla sayının ortak bölenlerinden en büyüğüne o sayıların en büyük ortak böleni (EBOB) denir.

EBOB'u bulmak için aşağıdaki adımlar izlenebilir:

1. Sayıları asal çarpanlarına ayırın.
2. Ortak asal çarpanları bulun.
3. Ortak asal çarpanları çarparak EBOB'u elde edin.

En Küçük Ortak Kat (EKOK)

İki veya daha fazla sayının ortak katlarından en küçüğüne o sayıların en küçük ortak katı (EKOK) denir.

EKOK'u bulmak için aşağıdaki adımlar izlenebilir:

1. Sayıları asal çarpanlarına ayırın.
2. Tüm asal çarpanları bulun.
3. Asal çarpanları çarparak EKOK'u elde edin.

Sonuç

Bölenler ve katlar, matematiksel hesaplamalarda sıklıkla kullanılan kavramlardır. EBOB ve EKOK, özellikle sayıların ortak özelliklerini belirlemek ve işlemleri çözmek için önemlidir.

Üslü İfadeler

Üslü ifadeler, bir sayının kendisiyle tekrarlı çarpımının kısa gösterimidir. Örneğin, 3² = 3 · 3 = 9'dur.

Üslü İfadelerde İşlemler

• Çarpma: İki üslü ifade çarpılırken, üsler toplanır. Örneğin, 3² · 3³ = 3²⁺³ = 3⁵ = 243'tür.
• Bölme: İki üslü ifade bölündüğünde, üsler çıkarılır. Örneğin, 3⁵ ÷ 3² = 3^5-2 = 3³ = 27'dir.
• Üs Alma: Bir üslü ifadenin üssü alırken, üsler çarpılır. Örneğin, (3²)³ = 3^2·3 = 3⁶ = 729'dur.

Negatif Üslü İfadeler

Negatif üslü ifadeler, paydada bulunan ifadenin tersidir. Örneğin, 3^-2 = 1/3² = 1/9'dur.

Sonuç

Üslü ifadeler, matematiksel işlemleri kısaltmak ve basitleştirmek için kullanılır. Ayrıca, üslü ifadeler, birçok bilimsel ve teknik alanda kullanılır.

Ek Kaynaklar

• Üslü İfadeler
• Üslü İfadeler (Khan Academy)

Üslü İfadeler

Üslü ifadeler, bir sayının kaç kez kendisiyle çarpıldığını gösteren matematiksel ifadelerdir. Örneğin, 2³, 2 sayısının kendisiyle 3 kez çarpıldığı anlamına gelir.

Üslü İfadelerin Özellikleri

• Taban, üslü ifadenin çarpılması gereken sayıdır.
• Üs, tabanın kaç kez kendisiyle çarpılacağını gösteren sayıdır.
• Üslü ifadenin değeri, tabanın üssü kadar kendisiyle çarpılmasıyla elde edilir.

Sonuç

Üslü ifadeler, matematikte ve günlük yaşamda yaygın olarak kullanılır. Örneğin, hesap makinelerinde, bilgisayarlarda ve bilimsel hesaplamalarda kullanılırlar.

Ek Kaynaklar

• Üslü İfadeler Hakkında Video
• Üslü İfadeler Hakkında Khan Academy Dersi

Üslü İfadeler

Üslü ifadeler, sayıların ve değişkenlerin kuvvetlerini ifade etmek için kullanılır. aⁿ ifadesinde a taban, n ise üs olarak adlandırılır. Üs, tabanın kaç kez kendisiyle çarpılacağını gösterir.

Üslü İfadelerin Çarpımı ve Bölümü

Üslü ifadelerin çarpımı yapılırken, tabanlar aynı ve üsler toplanır. Üslü ifadelerin bölümü yapılırken, tabanlar aynı ve üsler çıkarılır.

• a^m . aⁿ = a^m+n
• a^m / aⁿ = a^m-n

Üslü İfadelerin Üssü

Bir üslü ifadenin üssü varsa, taban aynı kalır ve üsler çarpılır.

Üslü İfadelerin Çözümlenmesi

Üslü ifadeler, 10'un tam sayı kuvvetleri kullanılarak çözümlenebilir. Örneğin, 12345 sayısı 10⁴ + 2000 + 300 + 40 + 5 şeklinde çözümlenebilir.

Bilimsel Gösterim

Bilimsel gösterim, çok büyük veya çok küçük sayıları daha kompakt bir şekilde ifade etmek için kullanılan bir yöntemdir. Bilimsel gösterimde, sayı 10'un pozitif veya negatif bir üssü ile çarpılır.

Burada a, 1 ile 10 arasında bir sayıdır ve n, üssü belirten bir tam sayıdır.

Sonuç

Üslü ifadeler, matematik ve diğer alanlarda yaygın olarak kullanılan bir araçtır. Çarpma, bölme ve üs alma gibi temel işlemler kullanılarak üslü ifadelerle çeşitli hesaplamalar yapılabilir.

Çok Büyük ve Çok Küçük Sayıları Bilimsel Gösterimle İfade Etmek

Çok büyük ve çok küçük sayıları ifade etmek için bilimsel gösterim kullanırız. Bilimsel gösterim, sayıyı 1'den büyük ve 10'dan küçük bir sayı ile 10'un üssünün çarpımı olarak ifade eder.

Bilimsel Gösterimin Yazılışı

Bilimsel gösterim şu şekilde yazılır:

N = a ∙ 10^n

Burada:

• N, ifade edilen sayıdır.
• a, 1 ile 10 arasında bir sayıdır.
• n, 10'un üssüdür.

Örneğin, 650.000.000 sayısı bilimsel gösterimle 6,5 ∙ 10^8 olarak yazılabilir.

Bilimsel Gösterimin Kullanım Alanları

Bilimsel gösterim, çok büyük ve çok küçük sayıları ifade etmek için kullanılır. Aşağıdaki alanlarda sıklıkla kullanılır:

• Bilim
• Mühendislik
• Matematik
• Astronomi
• Fizik
• Kimya

Örneğin, ışık hızı 299.792.458 metre/saniyedir. Bu sayı bilimsel gösterimle 2,99792458 ∙ 10^8 m/s olarak yazılabilir.

Bilimsel Gösterimin Avantajları ve Dezavantajları

Avantajları

• Çok büyük ve çok küçük sayıları ifade etmeyi kolaylaştırır.
• Sayıları karşılaştırmayı kolaylaştırır.
• Hesaplamaları basitleştirir.

Dezavantajları

• Sayıları anlamak ve yorumlamak zor olabilir.
• Hesaplamalar sırasında hatalara yol açabilir.

Bilimsel Gösterimle İlgili Ek Bilgiler

• Bilimsel gösterimdeki üssün değeri, sayının sıfır sayısından sonraki basamak sayısına eşittir.
• Bilimsel gösterimdeki üssün işareti, sayının işaretine bağlıdır. Pozitif sayıların üssü pozitif, negatif sayıların üssü negatiftir.
• Bilimsel gösterimdeki sayı, 1 ile 10 arasında bir sayı olmak zorundadır.

Sonuç

Bilimsel gösterim, çok büyük ve çok küçük sayıları ifade etmek için kullanılan bir yöntemdir. Bilimsel gösterim, sayıyı 1'den büyük ve 10'dan küçük bir sayı ile 10'un üssünün çarpımı olarak ifade eder. Bilimsel gösterim, bilim, mühendislik, matematik, astronomi, fizik ve kimya gibi birçok alanda kullanılır.

BOB ve EKOK

BOB (100, 75) ve EKOK (3, 4) işlemlerinin nasıl yapıldığını ve sonuçlarının ne olduğunu gösteren bir bilgi özetidir.

BOB (100, 75)

BOB (100, 75) işlemi, 100 ve 75 sayılarının ortak bölenlerinin en büyüğünü bulma işlemidir.

• 100 sayısının bölenleri: 1, 2, 4, 5, 10, 20, 25, 50, 100
• 75 sayısının bölenleri: 1, 3, 5, 15, 25, 75
• 100 ve 75 sayılarının ortak bölenleri: 1, 5, 25
• Ortak bölenlerin en büyüğü: 25

Sonuç: BOB (100, 75) = 25'tir.

EKOK (3, 4)

EKOK (3, 4) işlemi, 3 ve 4 sayılarının ortak katlarının en küçüğünü bulma işlemidir.

• 3 sayısının katları: 3, 6, 9, 12, 15, 18, 21, 24, 27, 30, ...
• 4 sayısının katları: 4, 8, 12, 16, 20, 24, 28, 32, 36, 40, ...
• 3 ve 4 sayılarının ortak katları: 12, 24, 36, 48, 60, ...
• Ortak katların en küçüğü: 12

Sonuç: EKOK (3, 4) = 12'dir.

120 sayısının en küçük asal çarpanı

120 sayısının en küçük asal çarpanını bulmak için asal çarpanlarına ayırabilirsiniz.

• 120 = 2 x 2 x 2 x 3 x 5
• Asal çarpanlar: 2, 3, 5
• En küçük asal çarpan: 2

Sonuç: 120 sayısının en küçük asal çarpanı 2'dir.

23 . 33 . 53 = a3 ise a = ?

23 . 33 . 53 = a3 ise a değerini bulmak için asal çarpanlara ayırabilirsiniz.

• 23 = 23
• 33 = 3 x 11
• 53 = 53
• 23 . 33 . 53 = 23 x 3 x 11 x 53 = 39537
• 39537 = 73 x 539
• 539 = 7 x 77
• 39537 = 7 x 7 x 73 x 77
• 39537 = 73 x a3
• a3 = 7 x 7 x 73 x 77
• a3 = 39537
• a = 39537^(1/3)
• a = 7

Sonuç: a = 7'dir.

65 25 = a5 ise a = ?

65 25 = a5 ise a değerini bulmak için asal çarpanlara ayırabilirsiniz.

• 65 = 5 x 13
• 25 = 5 x 5
• 65 25 = 5 x 5 x 13
• 65 25 = 52 x 13
• 65 25 = a5
• a5 = 52 x 13
• a = (52 x 13)^(1/5)
• a = 2

Sonuç: a = 2'dir.

2300 .104 = 23 . 10x ise x = ?

2300 .104 = 23 . 10x ise x değerini bulmak için denklem oluşturabilirsiniz.

• 2300 .104 = 23 . 10x
• 2300 x 104 = 23 x 10x
• 2300 x 4 = 23 x x
• 9200 = 23 x x
• x = 9200 / 23
• x = 400

Sonuç: x = 400'dür.

Asal sayıların kaç farklı pozitif çarpanı vardır?

Bir asal sayının yalnızca 1 ve kendisi olmak üzere iki farklı pozitif çarpanı vardır.

Sonuç: Asal sayıların 2 farklı pozitif çarpanı vardır.

YouTube Video Linkleri

• BOB ve EKOK Nasıl Bulunur?
• Asal Çarpanlara Ayırma
• Üslü Sayıların Çözümü