Mantıkta temel kavramlar olan tanım, teorem ve önermelerin önemi. Mantık problemlerini çözmek için bu kavramları iyi anlamak önemlidir.
Mantık, doğru düşünme için nasıl düşünülmesi gerektiğine dair ilke ve kuralları araştıran bir disiplindir. Önerme, bir düşüncenin doğruluk veya yanlışlık değerini belirten cümleciktir. Önermelerin doğruluk değeri D veya 1 ile yanlış ise Y veya 0 ile gösterilir. Doğruluk değerleri aynı olan iki önermeye denk önermeler denir.
Birden fazla önermenin birleştirilmesiyle oluşan önermelere bileşik önermeler denir. Bileşik önermeler, "ve", "veya" ve "ya da" bağlaçlarıyla oluşturulur. "Ve" bağlacıyla kurulan bileşik önermelerde, önermelerin her ikisi de doğruysa bileşik önerme doğru olur. "Veya" bağlacıyla kurulan bileşik önermelerde, önermelerden en az biri doğruysa bileşik önerme doğru olur. "Ya da" bağlacıyla kurulan bileşik önermelerde ise, önermelerden sadece biri doğruysa bileşik önerme doğru olur.
De Morgan kuralları, bileşik önermelerin değilinin nasıl alınacağını belirleyen kurallardır. De Morgan kurallarına göre, "ve" bağlacıyla kurulan bir bileşik önermenin değilinin alınması için önermelerin her ikisinin de değili alınır. "Veya" bağlacıyla kurulan bir bileşik önermenin değilinin alınması için önermelerden en az birinin değili alınır.
Bir önermenin diğer bir önermeyi gerektirdiği önermelere koşullu önerme denir. Koşullu önermeler, "eğer ... ise" şeklinde kurulur. Koşullu önermelerde, eğer kısmına öncül, ise kısmına sonuç denir.
Bir önermenin diğer bir önerme ile karşılıklı olarak gerektirdiği önermelere iki yönlü koşullu önerme denir. İki yönlü koşullu önermeler, "gerek ve yeter şart" şeklinde kurulur. İki yönlü koşullu önermelerde, gerek kısmına öncül, yeter şart kısmına sonuç denir. ''Başka bir deyişle hem şayet A ise B ise, hem de şayet B ise A ise, bunlara iki taraflı koşullu önerme denir.
Niceleseyiciler, önermelerin kapsamını belirleyen ifadelerdir. "Her" ve "bazı" en sık kullanılan niceleseyicilerdir. "Her" niceleyicisi, önermenin evrendeki tüm örnekleri için geçerli olduğunu belirtir. "Bazı" niceleyicisi ise, önermenin evrendeki bazı örnekleri için geçerli olduğunu belirtir.
Bir önermedeki bilinmeyen bir değerin yerine konulmasıyla açık önerme elde edilir. Örneğin, "x + 3 = 5" önermesinde x bilinmeyen bir değerdir. Bu değerin yerine 2 konulduğunda, "2 + 3 = 5" açık önermesi elde edilir.
Tanım, bir kavramın özelliklerini belirten önermedir. Tanımlar, genellikle "x, y'dir" veya "x, y özelliğine sahip olandır" şeklinde kurulur.
Aksiyom, ispatlanmadan kabul edilen önermedir. Aksiyomlar, genellikle mantıksal olarak doğru olan ve diğer önermelerin ispatlanması için temel oluşturan önermelerdir.
Teorem, ispatlanmış önermedir. Teoremler, aksiyomlardan ve daha önce ispatlanmış önermelerden çıkarılır. Teoremler, matematikte ve diğer bilim dallarında önemli bir yere sahiptir.
İspat, bir önermenin doğru olduğunu gösteren mantıksal işlemdir. İspatlar, genellikle aksiyomlardan ve daha önce ispatlanmış önermelerden yararlanılarak yapılır. İspatlar, matematikte ve diğer bilim dallarında önemli bir yere sahiptir. İspatlar, üç aşamalı bir yapıya sahiptir.
Hipotez, henüz ispatlanmamış olan ancak ispatlanması istenen önermedir. Hipotezler, genellikle bilimsel araştırmalarda kullanılır. Hipotezler, gözlemlerden veya deneylerden elde edilen verilerden yola çıkarak oluşturulur.
Hüküm, ispatlanmış olan önermedir. Hükümler, genellikle bilimsel araştırmalarda kullanılır. Hükümler, hipotezlerin ispatlanmasıyla elde edilir.
İki veya daha fazla önermenin ‘‘ve’’, ‘‘veya’’, ‘‘ya da’’, ‘‘ise’’, ‘‘ancak ve ancak’’ gibi bağ- laçlarla birbirine bağlanmasıyla elde edilen yeni önermeye bileşik önerme de- nir.
p ve q önermeleri için p / q önermesinin doğruluk tablosu aşağıdaki gibidir.
| p | q | p / q |
|---|---|---|
| 1 | 1 | 1 |
| 1 | 0 | 0 |
| 0 | 1 | 0 |
| 0 | 0 | 0 |
‘‘ve’’ Bağlacı ile Kurulan Bileşik Önermelerin Özellikleri
p ve q önermeleri için p 0 q önermesinin doğruluk tablosu aşağıdaki gibidir.
| p | q | p 0 q |
|---|---|---|
| 1 | 1 | 1 |
| 1 | 0 | 1 |
| 0 | 1 | 1 |
| 0 | 0 | 0 |
‘‘veya’’ Bağlacı ile Kurulan Bileşik Önermelerin Özellikleri
Koşullu önerme, p önermesi doğruysa q önermesinin de doğru olduğu anlamına gelen bir bileşik önermedir. İki yönlü koşullu önerme ise, p önermesi doğruysa q önermesinin de doğru olduğu ve q önermesi doğruysa p önermesinin de doğru olduğu anlamına gelen bir bileşik önermedir.
p ve q önermeleri için p & q koşullu önermesi aşağıdaki doğruluk değerlerine sahiptir:
| p | q | p & q |
|---|---|---|
| 1 | 1 | 1 |
| 1 | 0 | 0 |
| 0 | 1 | 1 |
| 0 | 0 | 1 |
Koşullu önerme, p doğru, q yanlış iken yanlış, diğer durumlarda ise doğrudur.
p ve q önermeleri için p &~ q iki yönlü koşullu önermesi aşağıdaki doğruluk değerlerine sahiptir:
| p | q | p &~ q |
|---|---|---|
| 1 | 1 | 1 |
| 1 | 0 | 0 |
| 0 | 1 | 0 |
| 0 | 0 | 1 |
İki yönlü koşullu önerme, p ve q önermeleri aynı doğruluk değerine sahip olduğunda doğrudur, aksi halde yanlıştır.
Koşullu ve iki yönlü koşullu önermeler, mantık ve matematik gibi birçok alanda kullanılır. Bu önermeler, karmaşık ifadeleri daha basit bir şekilde ifade etmek ve argümanları daha ikna edici hale getirmek için kullanılır.
Koşullu ve İki Yönlü Koşullu Önermeler Hakkında Video Koşullu ve İki Yönlü Koşullu Önermeler Hakkında Daha Fazla BilgiAçık önerme, içinde en az bir değişken bulunan ve bu değişkenlere verilen değerlerle doğru ya da yanlış olduğu belirlenen önermedir. Açık önermeler p(x) ile gösterilir.
Örnek 1: x > 5 açık önermesinde x bir değişkendir. x'e verilen değerlere göre önerme doğru veya yanlış olabilir. Örneğin, x = 3 ise önerme yanlıştır, x = 10 ise önerme doğrudur.
Örnek 2: x + y = 5 açık önermesinde x ve y değişkenlerdir. x ve y'ye verilen değerlere göre önerme doğru veya yanlış olabilir. Örneğin, x = 2 ve y = 3 ise önerme doğrudur, x = 1 ve y = 4 ise önerme yanlıştır.
Açık önermeyi doğrulayan elemanların kümesine o açık önermenin doğruluk kümesi denir. Örneğin, x > 5 açık önermesinin doğruluk kümesi {x | x > 5} şeklinde gösterilir ve bu küme {6, 7, 8, ...} değerlerini içerir.
Bir a sayısı p(x) açık önermesinin doğruluk kümesinin elemanı ise p(a) / 1 dir. Bir b sayısı p(x) açık önermesinin doğruluk kümesinin elemanı değil ise p(b) / 0 dır.
Açık önermeler mantıkta önemli bir yere sahiptir. Açık önermeler sayesinde değişkenli önermeler formüle edilebilir ve bu önermelerin özellikleri incelenebilir. Açık önermeler ayrıca matematik, fizik, bilgisayar bilimi gibi birçok alanda kullanılır.
Mantık, doğru düşünme ve doğru akıl yürütme sanatıdır. Doğruluk, bilginin nesnel gerçeklikle uyumu veya tutarlılığıdır.
Niceleyiciler, açık önermelerde geçen değişkenlerin alabileceği değerleri belirtir. En çok kullanılan niceleyiciler "her" ve "bazı" dır.
"Her" niceleyicisi, açık önermedeki değişkenin evrendeki tüm değerleri için geçerli olduğunu belirtir.
Örneğin, "her sayı çifttir" açık önermesi, evrendeki tüm sayılar için "çift olma" özelliğinin geçerli olduğunu belirtir.
"Bazı" niceleyicisi, açık önermedeki değişkenin evrendeki en az bir değeri için geçerli olduğunu belirtir.
Örneğin, "bazı sayılar tektir" açık önermesi, evrendeki en az bir sayı için "tek olma" özelliğinin geçerli olduğunu belirtir.
Bir açık önermenin değili, o açık önermenin tam tersini belirtir.
Örneğin, "her sayı çifttir" açık önermesinin değili "bazı sayılar tektir" açık önermesidir.
"Bazı sayılar tektir" açık önermesinin değili "her sayı çifttir" açık önermesidir.
Tanım, bir kavramın özelliklerini belirten bir önermedir.
Aksiyom, doğruluğu ispatsız olarak kabul edilen bir önermedir.
Teorem, doğruluğu ispatlanan bir önermedir.
Bir teoremi ispatlamak için, teoremin hipotezlerinden ve daha önce ispatlanmış teoremlerden yararlanılır.
Teorem ispatında şu adımlar izlenir:
Mantık, doğru düşünme ve doğru akıl yürütme sanatıdır. Mantık, birçok bilim dalında ve günlük hayatta kullanılır.
Giriş: Mantık, önermelerin doğruluk değerlerini inceleyen bir bilim dalıdır.
Tanım: Bir noktaya eşit uzaklıktaki noktaların kümesine düzlem denir.
Teorem: Bir üçgenin iç açılarının toplamı 180 derecedir.
İspat: https://www.youtube.com/watch?v=hI6vGJP0R8Q
Önerme: İstanbul Türkiye'nin başkentidir.
Doğruluk değeri: 0 (Yanlış)
Tanım, teorem ve önerme mantıkta temel kavramlardır. Bu kavramları iyi anlamak mantık problemlerini çözmek için önemlidir.