2023-2024 9.Sınıf Matematik Dersi 1.Dönem 1.Yazılı Soruları (2022-10-30)

Küme A'nın eleman sayısı 3'tür (a, b, c). Küme B'nin eleman sayısı 7'dir (a, b, c, d, e, f, g). B kümesinin alt kümelerinin sayısı 2^n formülü ile bulunur, burada n, B kümesinin eleman sayısıdır. Yani B'nin 7 elemanı olduğu için alt kümelerinin sayısı 2^7 = 128 olacaktır. Ancak, bu alt kümelerin içinde A kümesini kapsayan alt kümeleri bulmamız gerekiyor. A kümesindeki elemanların (a, b, c) olduğu alt kümeleri bulmalıyız. Bu alt kümeler şunlardır: {a} {b} {c} {a, b} {a, c} {b, c} {a, b, c} Bunların dışında, diğer alt kümelerde A kümesine ait elemanlar yoktur. Sonuç olarak, B kümesinin 16 alt kümesi A kümesini kapsamaktadır.

Cevap Anahtarı: E) 56 Verilen küme A={M,A,T,E,M,A,T,İ,K}'nın 4 elemanlı kümelerini oluşturmak için kombinasyon yöntemini kullanacağız. Kümedeki elemanların tekrarlı olduğunu göz önünde bulundurarak işlem yapalım: A kümesinde toplam 6 farklı harf (M, A, T, E, İ, K) bulunmaktadır. Bu 6 harften 4 elemanlı kümeleri oluştururken K harfinin kaç kez bulunduğunu hesaplayalım. 1. K harfinin 0 kez, yani hiç bulunmadığı durum: 5 elemanı seçme şeklinde C(6, 4) = 15 farklı 4 elemanlı küme. 2. K harfinin 1 kez bulunduğu durum: Önce 1 K harfi seçeriz, ardından diğer 3 elemanı seçeriz. C(1, 1) * C(5, 3) = 5 farklı küme. 3. K harfinin 2 kez bulunduğu durum: Önce 2 K harfi seçeriz, ardından diğer 2 elemanı seçeriz. C(2, 2) * C(4, 2) = 6 farklı küme. 4. K harfinin 3 kez bulunduğu durum: Önce 3 K harfi seçeriz, ardından 1 elemanı seçeriz. C(3, 3) * C(1, 1) = 1 farklı küme. 5. K harfinin 4 kez bulunduğu durum: Önce 4 K harfi seçeriz. C(4, 4) = 1 farklı küme. Toplamda bu durumlar toplandığında K harfinin bulunduğu 1 + 5 + 6 + 15 + 1 = 28 farklı 4 elemanlı küme elde edilir.

Cevap: D) 6 Küme A'nın elemanları {1, 2, 3, 4, 5} dir. Bu kümenin 3 elemanlı alt kümelerini bulmamız gerekiyor. 3 elemanlı alt kümeleri oluştururken 1 elemanının bulunması şartı olduğundan, seçilecek olan 2 elemanlı alt kümelerin sayısını hesaplamamız gerekmektedir. A kümesi 5 elemanlıdır ve 2 eleman seçmek için C(5, 2) kombinasyonunu kullanabiliriz: C(5, 2) = 5! / (2!(5-2)!) = 10 Ancak, bu 2 elemanlı alt kümelerin içinde 1 elemanını içermeyenleri bulmamız gerekmektedir. A kümesinde 1 elemanın olmadığı 4 elemanlı alt kümeleri de vardır ve C(4, 2) kombinasyonunu kullanabiliriz: C(4, 2) = 4! / (2!(4-2)!) = 6 Bu durumda, 3 elemanlı alt kümelerin içinde 1 elemanı olan alt kümelerin sayısı: 10 - 6 = 4 Sonuç olarak, A kümesinin 3 elemanlı alt kümelerinden 4 tanesinde 1 elemanı bulunmaktadır.

Cevap: A) 0 Verilen önerme "(q V p')' ∧ q" şeklindedir. Bu önermeyi adım adım çözerek sonuca ulaşalım: 1. "p'" ifadesi, "p" önermesinin değilidir. Yani, "p'" ifadesi "p" önermesinin tersidir. 2. "q V p'" ifadesi, "q" önermesinin veya "p" önermesinin tersi (değili) olarak ifade edilir. 3. "(q V p')'" ifadesi, "q V p'" ifadesinin tersidir, yani "q V p'" ifadesinin doğrusalıdır. 4. Son adımda, elde edilen doğrusal ifadeyi "q" önermesiyle "AND" işlemine tabi tutuyoruz: "(q V p')' ∧ q". Bu işlemin sonucu, 0'dır. Çünkü "AND" işleminde her iki önerme de doğru olmalıdır, ancak "(q V p')'" ifadesi zaten yanlış olduğu için sonuç da yanlış olacaktır.

Cevap: C) (1 V 1) V 0 Verilen önermelerin doğruluk değerlerini hesaplayarak sonuçları bulalım: A) (0 ∧ 0) ∧ 1 = 0 ∧ 1 = 0 (Çünkü "AND" işleminde en az bir önerme yanlışsa sonuç yanlış olur.) B) (1 ∧ 0) ∧ 1 = 0 ∧ 1 = 0 (Çünkü "AND" işleminde en az bir önerme yanlışsa sonuç yanlış olur.) C) (1 V 1) V 0 = 1 V 0 = 1 (Çünkü "OR" işleminde en az bir önerme doğruysa sonuç doğru olur.) D) (1 V 0) ∧ 0 = 1 ∧ 0 = 0 (Çünkü "AND" işleminde en az bir önerme yanlışsa sonuç yanlış olur.) E) (0 ∧ 1) V 0 = 0 V 0 = 0 (Çünkü "AND" işleminde en az bir önerme yanlışsa sonuç yanlış olur.) Dolayısıyla, yalnızca C seçeneğinin sonucu 1'dir.

Cevap: B) 1 Verilen işlemin adım adım çözümünü yapalım: ((1 ∧ 0) V (1 V 0)) ∧ (1 V 0) Öncelikle, parantez içlerini işlemleri yapalım: (0 V 1) ∧ 1 V işlemi için doğru olan en az bir önerme yeterlidir: 1 ∧ 1 Son olarak, ∧ işleminde her iki önerme de doğru olduğunda sonuç doğru olur: 1 Dolayısıyla, verilen işlemin sonucu 1'dir.

Cevap: D) I, II ve III I. (1 V 0) V (0 ∧ 1) = 1 Bu ifadeyi adım adım çözerek doğruluğunu kontrol edelim: 1 V 0 = 1 (V işleminde en az bir önerme doğru olduğunda sonuç doğrudur) 1 V 1 = 1 (V işleminde en az bir önerme doğru olduğunda sonuç doğrudur) Sonuç: 1 II. (1 ∧ 1) ∧ (1 ∧ 0) = 0 Bu ifadeyi adım adım çözerek doğruluğunu kontrol edelim: 1 ∧ 0 = 0 (∧ işleminde her iki önerme de doğru olmalıdır ki sonuç doğru olsun) 1 ∧ 1 = 1 (∧ işleminde her iki önerme de doğru olmalıdır ki sonuç doğru olsun) Sonuç: 0 III. (0 V 0 ) ∧ (1 V 0) = 0 Bu ifadeyi adım adım çözerek doğruluğunu kontrol edelim: 0 V 0 = 0 (V işleminde her iki önerme de yanlış olduğunda sonuç yanlış olur) 1 V 0 = 1 (V işleminde en az bir önerme doğru olduğunda sonuç doğrudur) Sonuç: 0 Tüm ifadelerde sonuçlar bulunmuş ve I=1, II=0 ve III=0 olarak belirlenmiştir. Dolayısıyla I, II ve III doğrudur.

Doğru cevap D) 64 olmalıdır. Çünkü her önerme için iki durum (doğru veya yanlış) olduğu için, 6 önerme için toplam 2^6 = 64 farklı kombinasyon oluşur. Bu nedenle doğru cevap 64'tür.

Cevap: A) I ve II Önerme, bir ifadenin ya doğru ya da yanlış olabilmesi gereken bir ifadedir. I. ve II. ifadeler açıkça önermedir, çünkü doğruluğu ya da yanlışı belirlenebilir. Ancak III. ifade "Ayna görüntüyü yansıtır" şeklinde bir genellemeye dayandığı için kesin bir doğruluk ya da yanlışlık durumu taşımaz. Bu nedenle, III. ifade önerme olarak kabul edilmez.